Birikmiş tutar formülü nasıl bulunur? Çeşitli faiz hesaplama şemaları kullanılarak basit ve bileşik faiz kullanılarak tahakkuk eden tutarın belirlenmesi. Tahakkuk eden faiz miktarını belirleyin

Bileşik faiz kullanılarak yapılan hesaplamalarda, başlangıçtaki tutara tahakkuk eden faizin bu tutara eklendiği ve daha sonraki dönemlerde tahakkuk eden tutar üzerinden faiz tahakkuk ettirildiği varsayılmaktadır. Faiz birikimi sonucu elde edilen tutara, hesaplamanın yapıldığı sürenin bitiminden sonra tahakkuk eden veya mevduat tutarının gelecekteki değeri denir. Orijinal yatırılan tutara güncel değer de denir.

Bileşik faiz kullanarak başlangıç ​​tutarını (sermayeyi) artırma mekanizmasına da kapitalizasyon denir.

Bileşik faizde tahakkuk eden tutarın hesaplanması aşağıdaki formül kullanılarak gerçekleştirilir:

N

FV = PV * (1 + Ben) , (1.1)

- F.V.– tahakkuk eden (gelecekteki) tutar;

- PV- faizin hesaplandığı ilk (cari) tutar;

- Ben - ondalık kesir olarak bileşik faiz oranı:

- P - Faizin tahakkuk ettiği yıl sayısı.

Örnek No.1. Bir banka müşterisi yıllık %10 faizle vadeli mevduata 30 bin ruble yatırdı. Faiz yılda bir kez hesaplanır. Dört yıl sonra birikmiş tutarın miktarını belirleyin.

FV = PV * (1 + Ben) = 30000 * (1 + 0, 1) = 30000*1, 4641 = 43923 ovma.

Müşteri ile banka arasındaki anlaşmaya göre faiz, yılda bir defadan çok daha sık hesaplanabilir - altı aylık, üç aylık, aylık, on günlük ve hatta günlük. Bu durumlarda birikmiş tutarı belirlemek için birikim formülünü (1.1) kullanabilirsiniz; burada değer P toplam faiz dönemi sayısı ve faiz oranı anlamına gelecektir Ben- faiz oranı ancak ilgili dönem için (altı ay, çeyrek, ay vb.).

Çoğu durumda, belirtilen üç aylık veya aylık oran değil, nominal oran olarak da adlandırılan yıllık orandır. Ayrıca dönem sayısı da belirtilir (M) yıllık tahakkuklar. Bu durumda tahakkuk eden tutarı hesaplamak için formül kullanılabilir:

n*m

FV = PV * (1 + J/ M) , (1.2)

- J - Nominal faiz oranı;

- M – yıllık faiz hesaplama dönemlerinin sayısı;

- N - yılların sayısı.

Örnek No. 2. Bir banka müşterisi, yıllık %10 nominal faiz oranıyla üç yıl vadeli mevduata 30 bin ruble yatırdı. Faiz üç ayda bir hesaplanır. Tahakkuk eden tutarın miktarını belirleyin.

n*m 3 * 4

FV = PV * (1 + J/ M) = 30000 * (1 + 0, 1/4) = 30000 * 1, 3449 = 40347 ovmak.

Bu tür bir sorunu çözerken şu soru ortaya çıkabilir: m- durumunda aynı mali sonucu elde etmek için hangi yıllık faiz oranının ayarlanması gerekir? oranında yılda bir defaya mahsus (aylık veya üç aylık) faiz tahakkuku J/ M.

Bu bağlamda nominal faiz oranının yanı sıra efektif veya reel faiz oranı kavramı da bulunmaktadır. yani aşağıdaki formülle belirlenir:

M

yani= (1 + J/ M) - 1 , (1.3)

yani - efektif bileşik faiz oranı.

Örnek No. 3. Müşteri, kendi serbest kaynaklarını tahsis etmek için bankayla iletişime geçti ve ardından bankanın %10 nominal faiz oranı kullanarak üç ayda bir faiz tahakkuk ettirdiğini öğrendi. Nominal oranı kullandığınızda aynı bileşik tutarı alırsanız etkin bileşik faiz oranı nedir? j = 10%?

yani= (1 + J/ M) - 1 = (1 + 0,1 / 4) - 1 = 1.1038 – 1 = 0,1038 (10,38%)

Yatırım yapılan fonların aktifleştirilmesi süreci, üretim faktörlerinin gerçek değerini korumanın ve artırmanın güçlü bir yoludur. Bu ifadeyi açıklamak için, 70 değerinin anımsatıcı kuralını kullanabilirsiniz (bazı finansal ve ekonomik yayınlarda “72 - x Kuralı” olarak belirtilmiştir), bu da yaklaşık olarak iki katına çıkma (yalnızca iki katına çıkma) süresini belirlemenize olanak tanır. verilen faiz oranlarındaki başlangıç ​​tutarı.

n = 70 /Ben , (1.4)

-Ben - bileşik faiz oranı (% olarak)

- N – dönem (belirli koşullar altında faiz oranı için).

Not. %3 – %17 aralığındaki bahisler için 70 Büyüklük Kuralı önerilir. Enflasyonu tahmin etmek için 70 değer kuralı da kullanılabilir.

Örnek No. 4. Bir bankaya yatırılan para sermayenin sahibi, yıllık %10 faiz oranıyla sermayeyi ikiye katlamanın kaç yıl alacağını bilmek istiyor?

n = 70 /ben = 70/10 = 7 yıl.

70 büyüklük kuralını kullanarak ters problemleri de çözebilirsiniz. Böylece sermayenin iki katına çıkarılmasına karşılık gelen belirli bir süre için gerekli faiz oranı hesaplanabilir.

Görev No.1

A) Karşılıklı çıkarları güvence altına almak amacıyla, banka ile imalat ve ticaret şirketi, cari hesapta ____ yıl süreyle ____ bin ruble tutarında bir asgari bakiye oluşturma konusunda anlaştılar. Bu durumda banka periyodik olarak yıllık ______ faiz tahakkuk ettirmeyi taahhüt eder. Tanımlamak:

Tahakkuk eden tutar;

Etkin bileşik faiz oranı.

Değerler tablo 1.1'dedir.

Tablo 1.1

İlk veri

B) Tanımlamak:

Ortalama yıllık fiyat artış oranı;

Ortalama yıllık fiyat endeksi,

fiyatlar ____yıl(lar) içinde iki katına çıkmışsa.

Değerler tablo 1.2'dedir.

Tablo 1.2

İlk veri

Altında tahakkuk eden tutar borcun (kredi, mevduat vb.) başlangıç ​​tutarını vade sonunda tahakkuk eden faiziyle birlikte anlıyoruz. Tahakkuk eden tutar, başlangıç ​​tutarının, tahakkuk eden tutarın orijinal tutardan kaç kat daha büyük olduğunu gösteren tahakkuk faktörü ile çarpılmasıyla belirlenir:

burada Y tahakkuk eden miktardır, ovmak;

R- başlangıç ​​​​miktarı, ovmak; Q- büyüme çarpanı.

Basit ve bileşik faiz farklı olacaktır.

Tahakkuk ederken tahakkuk çarpanı basit

q = (l + nxi),

ve artan miktar - formüle göre

P(1 + P X /),

Nerede P - uzatma süresi, süre;

/" - faiz oranı.

Faiz oranı ise yıllık, ve faizin yıl içinde ödendiğine göre, alacaklıya dönem için yıllık faizin ne kadarının ödendiğinin belirlenmesi gerekir. Bunu yapmak için, birikim süresi aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır.

Nerede? - faizin tahakkuk edeceği ve ödeneceği gün sayısı;

İLE- bir yıldaki gün sayısı.

Örnek. 1 milyon ruble tutarında kredi. 20 Ocak'tan 5 Ekim'e kadar (258 gün boyunca) yıllık %18 oranında verilir. Yüzdeler basittir. Bu durumda tahakkuk eden tutar

Kredi anlaşmaları bazen zaman içinde değişen faiz oranları (değişken oranlar) sağlar. Bunlar basit bahislerse, dönem sonunda tahakkuk eden tutar şu ifadeye göre belirlenir:

Örnek. Kredi sözleşmesi, faiz hesaplaması için aşağıdaki prosedürü öngörmektedir: ilk yıl -% 16'lık bir oran, sonraki her altı ayda oran% 1 artar. 2,5 yıl boyunca büyüme faktörünü belirlemek gerekir:

Pratik problemlerde, bazen ikincil problemleri çözmeye ihtiyaç duyulur - diğer tüm koşullar altında artış süresinin veya faiz oranının büyüklüğünün şu veya bu şekilde belirlenmesi.

Birikim süresinin yıl veya gün cinsinden süresi, denklemin çözülmesiyle belirlenebilir:

Рх(1 + "хг").

Bu denklemden elde ettiğimiz

Gün cinsinden süre şu formül kullanılarak hesaplanacaktır:

Örnek. 1 milyon ruble tutarındaki borcun yıllık %25 (K = 365 gün) basit faiz uygulanması şartıyla 1,2 milyon rubleye çıkması için kredinin süresini gün olarak belirleyelim.

Faiz oranı da benzer şekilde belirlenebilir. Faiz oranının hesaplanmasına yönelik bu ihtiyaç, bir borçlanma işleminin karlılığının belirlenmesinde ve faiz oranlarının açıkça belirtilmediği durumlarda sözleşmelerin karlılıklarına göre karşılaştırılması sırasında ortaya çıkar. İlk duruma benzer şekilde şunu elde ederiz:

Örnek. Kredi sözleşmesi, yükümlülüğün 110 milyon ruble tutarında geri ödenmesini öngörüyor. 120 gün içinde. Başlangıçtaki borç miktarı 90 milyon ruble. Borç veren için borçlanma işleminin karlılığını yıllık faiz oranı şeklinde belirlemek gerekir. Aldık

Tahakkuk ederken tahakkuk çarpanı karmaşık yüzde aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır

ben = 0 + 0",

ve artan miktar - formüle göre Yüzdeler (U) şuna eşit olacaktır:

Değişken bileşik faiz oranlarının kullanılması durumunda tahakkuk eden tutar aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır.

dönemin oran değeri nerede Sch.

Basit ve karmaşık bahisler için artış çarpanı farklı olduğundan aşağıdaki tablo gözlenir. Uzatma süresinin bir yıldan az olması halinde

Uzatma süresinin bir yıldan fazla olması halinde

(1 + T)

Bu durum grafiksel olarak Şekil 2'de gösterilmektedir. 4.1.

Pirinç.

Faiz, bir kez değil, yılda birkaç kez (altı ay, çeyrek, ay vb.) tahakkuk ettirilebilir (aktifleştirilebilir). Sözleşmeler kural olarak yıllık bir oran öngördüğünden, bileşik faiz formülü şöyle görünür:

Nerede } - nominal yıllık oran;

T- yıllık faiz dönemi sayısı.

Örnek. Başlangıç ​​tutarı 1 milyon ruble Yıllık %20 bileşik faiz oranıyla 5 yıl vadeli mevduata yatırılıyor. Faiz üç ayda bir hesaplanır. Tahakkuk eden tutarı hesaplayalım:

Açıkçası, faiz ne kadar sık ​​tahakkuk ettirilirse, tahakkuk süreci de o kadar hızlı ilerler.

Bileşik faiz kullanarak kredi işlemlerinin şartlarını geliştirirken, genellikle ters problemleri çözmek gerekir - bir kredinin veya kredinin süresinin (tahakkuk süresi) veya faiz oranının hesaplanması.

Karmaşık bir yıllık oranda ve nominal bir oranda artarken, şunu elde ederiz:

Örnek. Yılda bir ve üç ayda bir %15 bileşik faiz tahakkuk ettirilen 75 milyon ruble tutarındaki tutarın hangi dönemde (yıl olarak) 200 milyona ulaşacağını belirleyelim:

Bileşik faiz tahakkuk ederken faiz oranı denklemlerle belirlenecektir.

Örnek. Fatura 100 bin rubleye satın alındı, geri ödeme tutarı 300 bin ruble, vade 2,5 yıl. Kârlılık düzeyini belirleyin. Aldık

Başlangıç ​​tutarının arttığı kredi vadesinin belirlenmesi gerekiyorsa N kez, ardından hesaplama formülü görüntülenir:

bileşik faiz için - (1 + /) ifadesinden" = N:

basit ilgi için - (1 + onlar*) = LG ifadesinden:

Örnek. Başlangıç ​​sermayesini 5 katına çıkarmak için gereken yıl sayısını yıllık %15 basit ve bileşik faiz kullanarak hesaplayalım: Basit faiz için şunu elde ederiz:

Finansal matematik üzerine ödev testi

1. Birikmiş depozito miktarını 3 bin ruble olarak belirleyin. Yıllık %40 nominal faiz oranıyla 2 yıllık mevduat vadesi ile. Faiz şu şekilde hesaplanır: a) yılda bir kez, b) altı ayda bir, c) üç ayda bir, d) ayda bir

Mevduat süresinin sonuna kadar biriken tutar aşağıdaki formülle belirlenir:

burada m, yıllık faiz tahakkuklarının sayısıdır;

n - mevduat vadesi (yıl olarak);

Mevduat sözleşmesinde belirtilen yıllık faiz oranı (nominal oran).

Tahakkuk aralığı için bankaların kabul ettiği faiz oranıdır.

a) yılda bir kez:

(bin ruble.)

b) yarım yıla kadar

• (bin ruble.)
• c) üç ayda bir,

• (bin ruble.)
• d) aylık.

• (bin ruble.)
• 2. Banka, halktan yıllık %12 nominal faiz oranıyla mevduat kabul etmektedir. Faiz aylık olarak tahakkuk ettirilir. 1.200$'lık depozito 102 gün sonra çekildi. Müşterinin gelirini belirleyin

Bir finansal işlemin süresini hesaplamak için bir yıldaki tam gün sayısını alırız. Bir finansal işlemin süresi aşağıdaki formülle belirlenir:

burada t finansal işlem için gerçek gün sayısıdır.

n - mevduat vadesi (yıl olarak).

3. Banka, fabrika inşaatı için şirkete yıllık %13 faiz oranıyla 10 yıl vadeli 200 bin dolar kredi sağladı. Her yıl sonunda birikim oranını, tahakkuk eden faiz tutarını ve kredi maliyetini hesaplayın

Basit ilgi:

Basit faizin artış oranı aşağıdaki formülle belirlenir:

Nerede

burada S 0 - kredi tutarı;

n - faiz tahakkuk süresi;

i nominal faiz oranıdır.

S 0 - kredi tutarı;

n - faiz tahakkuk süresi;

i nominal faiz oranıdır.

Tablo 1'de her yıl sonunda birikim katsayısının değeri, faiz miktarı ve kredinin maliyetine ilişkin veriler gösterilmektedir (hesaplamalar Microsoft Excel - Ek A, görev 3'te yapılmıştır).

Tablo 1. Kredinin birikim oranı, faiz miktarı ve maliyetine ilişkin tahmini veriler.

	yapı faktörü	kredi maliyeti, $	yüzde, $

Bileşik faiz:

Artış katsayısı aşağıdaki formülle belirlenir:

i nominal faiz oranıdır.

Faiz tutarı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

burada S kredi tutarıdır;

n - faiz tahakkuk süresi;

i nominal faiz oranıdır.

Dönem sonu kredi maliyeti:

burada S n kredinin maliyetidir (birikmiş değer);

S 0 - kredi tutarı;

n - faiz tahakkuk süresi;

i nominal faiz oranıdır.

Tablo 2'de birikim katsayısının değeri, faiz miktarı ve kredinin maliyetine ilişkin veriler her yıl sonunda gösterilmektedir (hesaplamalar Microsoft Excel'de yapılmıştır).

Tablo 2. Kredinin birikim oranı, faiz miktarı ve maliyetine ilişkin tahmini veriler.

	yapı faktörü	kredi maliyeti, $	yüzde, $

4. Şirkete 3 yıl süreyle yıllık %12 faiz oranıyla 50 bin dolar tutarında imtiyazlı kredi sağlandı. Kredinin faizi yılda bir kez hesaplanır. Anlaşma şartlarına göre şirket, üç yıllık sürenin sonunda kredi ve faizini tek seferde ödeme hakkına sahip. Basit ve bileşik faiz hesaplanırken şirket ne kadar ödemelidir?

Basit ilgi:

Basit faiz miktarı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

burada S kredi tutarıdır;

n - faiz tahakkuk süresi;

i nominal faiz oranıdır.

Kredi tutarı şu şekilde olacaktır:

Tahakkuk eden bileşik faiz tutarı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

burada S kredi tutarıdır,

n - faiz tahakkuk süresi,

i nominal faiz oranıdır.

Kredi tutarı şu şekilde olacaktır:

5. Bir imalat ve ticaret şirketi 900 bin ruble kredi aldı. 3 yıllık bir süre için. Faiz bileşiktir. İlk yıl faiz oranı %40 olup takip eden her yıl %5 oranında artırılmaktadır. Kredi geri ödeme tutarını belirleyin

Kredi geri ödeme tutarı aşağıdaki formüle göre belirlenir:

burada S n dönem sonundaki kredi geri ödeme tutarıdır;

S 0 - kredi tutarı;

n - faiz tahakkuk süresi;

i nominal faiz oranıdır.

Koşula göre faiz oranı %5 oranında artar:

3. yıl için kredi geri ödeme tutarı şu şekilde olacaktır:

6. Yıllık %12 faiz oranıyla basit ve bileşik faiz kullanarak sermayeyi ikiye katlamak için gereken süreyi belirleyin. İkinci durumda faiz aylık olarak tahakkuk eder.

“Kural 70” ve “Kural 100”, sermayenin faiz oranında ikiye katlanmasının kaç yıl alacağı sorusunu yanıtlamamızı sağlar i.

Basit faiz (“100 kuralı”):

i - faiz oranı.

burada T sermayenin iki katına çıkacağı dönemdir;

i - faiz oranı.

7. Yıllık %48 faiz oranıyla basit ve bileşik faiz kullanarak sermayeyi üç katına çıkarmak için gereken süreyi belirleyin. İkinci durumda faiz üç ayda bir hesaplanır.

Sermayeyi üçe katlarken basit faiz:

Sermayeyi üçe katlarken bileşik faiz:

8. Mevduatın iki katına çıkması için aylık, üç aylık ve altı aylık faiz tahakkukları ile bir bankada yıllık %84 oranında mevduat tutulması ne kadar sürer? Bankacılık hesaplama yöntemi

Bileşik faiz (“70 kuralı”):

burada T sermayenin iki katına çıkacağı dönemdir;

m - faiz tahakkuk sıklığı;

i - faiz oranı.

• - aylık tahakkuk: yıl.
• - üç aylık tahakkuk: yıl.

• - altı aylık tahakkuk: yıl.
• 9. Müşteri 4 aylık bir süre için 1.600$ yatırdı. Faiz aylık olarak tahakkuk ettirilir. Son teslim tarihinin ardından 1.732 dolar aldı. Bankanın faiz oranını belirleyin

Bankanın faiz oranını belirlemek için bileşik faiz yöntemini kullanarak fon artırma formülü kullanılır:

j, faiz dönemlerinin gerçek sayısıdır;

n - mevduat vadesi (yıl olarak);

S0 - depozitonun açıldığı andaki depozito miktarı;

Banka faiz oranı.

Buradan bankanın faiz oranı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Bankanın faiz oranı şu şekilde olacaktır:

10. Faiz hesaplandığında yıl içinde mevduatın iki katına çıkması için minimum faiz oranı ne olmalıdır: a) üç ayda bir, b) ayda bir

Asgari faiz oranı aşağıdaki formülle belirlenir:

m, faiz tahakkuklarının sayısıdır;

n - mevduat vadesi (yıl olarak);

S0 - depozitonun açıldığı andaki depozito miktarı;

Sm - depozito açıldığında depozito miktarı;

Banka faiz oranı.

a) Üç aylık faiz hesaplaması:

b) Aylık faiz tahakkuku:

11. Priorbank, nüfusa 1996 yılı için nakit depozito teklif etti. Geliri ilk 2 ayda yıllık yüzde 72, sonraki 2 ayda yüzde 84, 5 ayda yüzde 96, 6 ayda ise yüzde 108 oldu. Belirtilen basit ve bileşik faiz üzerinden 6 ay vadeli para yatırırken efektif faiz oranını belirleyin. İkinci durumda faiz aylık olarak tahakkuk eder.

Etkin faiz oranı, bir ticari işlemden elde edilen gerçek geliri yansıtan bir orandır).

Basit faiz kullanılarak hesaplanan etkin faiz oranı aşağıdaki formülle belirlenir:

m, faiz tahakkuklarının sayısıdır;

n - mevduat vadesi (yıl olarak).

Bileşik faiz kullanılarak hesaplanan etkin faiz oranı aşağıdaki formülle belirlenir:

m, faiz tahakkuklarının sayısıdır;

n - mevduat vadesi (yıl olarak).

12. Bir ticari bankanın ilanı, aylık faiz tahakkukları ile yıllık %84 teklif etmektedir. Başka bir ticari banka, üç ayda bir bileşik faizle yıllık %88 oranında teklif veriyor. Depozito süresi 12 aydır. Hangi bankayı tercih etmelisiniz?

Ticari bankalar arasındaki seçim büyüme oranına bağlı olacaktır.

Bileşik faiz oranı aşağıdaki formülle belirlenir:

burada n faiz tahakkuk dönemidir,

i nominal faiz oranıdır.

Banka 1'i tercih edin.

13. Dört bankanın koşullarını karşılaştırın: a) basit faiz ve %48 faiz oranı; b) nominal faiz oranı - yıllık %46, faiz altı ayda bir hesaplanır; c) nominal faiz oranı - %45, üç ayda bir tahakkuk eden faiz; d) nominal faiz oranı -%44, aylık tahakkuk eden faiz

En karlı seçeneği belirlemek için önerilen koşulları karşılaştırmak gerekir (tüm hesaplamalar 1 yıllık bir süre için yapılır).

a) Basit faiz ve %48 faiz oranı.

Basit faiz oranı: .

b) nominal faiz oranı - yıllık %46, faiz altı ayda bir hesaplanır.

c) nominal faiz oranı - %45, üç ayda bir tahakkuk eden faiz.

Bileşik faiz oranı:

d) nominal faiz oranı -%44, aylık tahakkuk eden faiz.

Bileşik faiz oranı:

Tablo 3 mevduat sahibi, borç alan ve banka (borç veren) için koşulları karşılaştırmaktadır.

Tablo 3

14. Müşteri 100 bin ruble depozito yatırdı. 8 ay vadeli mevduat karşılığında. Faiz, yıllık %36 nominal faiz oranı üzerinden aylık olarak tahakkuk ettirilir. Tahakkuk eden tutarı ve etkin faiz oranını belirleyin

Artan mevduat tutarı bileşik faiz formülü kullanılarak belirlenir:

S 0 - ilk depozito tutarı;

n - faiz tahakkuk süresi;

i nominal faiz oranıdır.

15. Bir işletme yıllık %40 nominal faiz oranıyla 3 yıl vadeli kredi almıştır. Komisyon kredi tutarının %5'idir. Faiz hesaplanırken etkin faiz oranını belirleyin: a) yılda bir kez, b) üç ayda bir, c) ayda bir

Efektif oran, komisyonlar hariç ve dikkate alınarak gelecekteki değerlerin eşitlenmesiyle belirlenir:

m, faiz tahakkuklarının sayısıdır;

n - kredi vadesi (yıl olarak);

S - kredi tutarı;

Bankanın nominal faiz oranı;

Bankaya ödenecek komisyon tutarı.

h banka komisyonu nerede.

Efektif oran aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

• - yılda bir kez: ;
• -üç ayda bir: ;

• - aylık: .
• 16. Bir işletme yıllık %48 faiz oranıyla 3 yıl vadeli kredi kullanmıştır. Komisyon kredi tutarının %5'idir. Aşağıdaki durumlarda kredinin etkin faiz oranını belirleyin: a) kredi basit faizle alınmışsa, b) kredi yılda bir kez tahakkuk eden bileşik faizle alınmışsa, c) aylık faiz tahakkuk ettirilmişse

a) Kredi basit faizle alınmıştır

b) kredinin yılda bir kez tahakkuk eden faizi ile bileşik faiz üzerinden alınmış olması:

c) Kredinin aylık faiz tahakkuk eden bileşik faizle alınmış olması:

17. Şirket 40 bin ruble kredi aldı. Yıllık %12 faiz oranıyla bir ay süreyle. Yüzdeler basittir. Aylık enflasyon oranı ise yüzde 5,9. Enflasyonu, tahakkuk eden tutarı ve faiz parasını dikkate alarak aylık faiz oranını belirleyin

Bankanın aylık faiz oranı:

Enflasyon dikkate alınarak aylık banka faiz oranı:

burada i r, bankanın enflasyonu hesaba katan reel oranıdır;

i bankanın nominal oranıdır;

n - yıl sayısı;

r - enflasyon oranı.

Artan kredi tutarı basit faiz formülü kullanılarak belirlenir:

mevduat kredisi banka geliri

18. Şirket 100 bin ruble tutarında kredi için bankaya başvurdu. bir aylık bir süre için. Banka bu tür kredileri enflasyonu hesaba katmadan yıllık %24 basit faiz oranıyla sağlamaktadır. Önceki üç ayda aylık enflasyon oranları: %1,8; 2.4; %2,6. Kredi, belirtilen üç aydaki ortalama enflasyon oranı dikkate alınarak tahsis edilmiştir. Enflasyonu, getiri tutarını ve bankanın indirimini dikkate alarak bankanın faiz oranını belirleyin

Üç aylık enflasyon oranı:

Aylık ortalama enflasyon oranı:

Artan iade tutarı:

Faiz ödemeleri şu şekilde olacaktır: ovmak.

19. Banka müşteriye 3 aylık kredi verdi. Kredi tutarı - 24 bin ruble. Banka, reel getiri oranının yıllık %12 olmasını şart koşuyor. Tahmini ortalama aylık enflasyon oranı %3,6'dır. Bankanın basit faiz oranını, tahakkuk eden tutarı belirleyin

Yıllık enflasyon oranı:

Enflasyon oranı: veya %53 olacaktır.

Enflasyon dikkate alınarak kredi faiz oranı:

r - gerçek getiri oranı;

r - enflasyon oranı.

Artan iade tutarı:

20. Bir şirket ticari bir bankadan yıllık %30 faiz oranıyla (enflasyon hariç) iki ay süreyle kredi kullanmıştır. Tahmini ortalama aylık enflasyon oranı %2'dir. Enflasyon ve büyüme oranını dikkate alarak kredi faiz oranını belirleyin

Yıllık enflasyon oranı:

Kredi faiz oranı (Fisher formülü):

Bileşik faiz oranı:

Basit faiz oranı:

21. Yıllık %18 nominal faiz oranıyla bir yıl süreyle 500 bin ruble kredi alındı. Faiz aylık olarak tahakkuk ettirilir. Beklenen ortalama aylık enflasyon oranı %3'tür. Enflasyonu ve tahakkuk eden tutarı dikkate alarak bankanın faiz oranını belirleyin

Yıllık enflasyon oranı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Enflasyonu dikkate alarak bankanın faiz oranını belirleyelim:

Tahakkuk eden tutar:

22. Aylık enflasyon oranının %3 olması bekleniyor. Bankaların %40, %50, %60 nominal faiz oranlarıyla mevduat kabul etmesi durumunda, yıllık mevduatın gerçek faiz getirisini belirleyin. Faiz birleştirilir ve aylık olarak hesaplanır.

Yıllık enflasyon oranı:

veya yıllık %42,58

Gerçek faiz oranı:

burada i nominal faiz oranıdır;

Gerçek faiz oranı;

Enflasyon oranı;

%40 nominal faiz oranı için gerçek faiz oranı:

%50 nominal faiz oranı için gerçek faiz oranı:

23. Ocak'tan Haziran 1997'ye kadar ortalama aylık enflasyon oranı - %5,9. Yıllık %12'lik bir mevduat getirisi sağlamak için bankanın yıllık mevduat faiz oranı ne olmalıdır? Faiz bileşiktir ve aylık olarak hesaplanır

Mevduatın nominal faiz oranı aşağıdaki formülle belirlenir:

burada i nominal faiz oranıdır;

r - yatırımın gerçek getirisi;

Enflasyon oranı.

24. Bir ticari banka, 1997 yılının ilk yarısında, yıllık %54 faiz oranıyla halktan mevduat kabul ediyordu. Faiz aylık olarak hesaplanır. Aylık ortalama enflasyon oranı %5,9'dur. Getirinin gerçek faiz oranını belirleyin

Reel faiz getirisi oranı aşağıdaki formülle belirlenir:

burada i nominal faiz oranıdır;

r - yatırımın gerçek getirisi;

Enflasyon oranı.

Mevduat %14,77 oranında değer kaybetmiştir.

25. Ticari bankalar, aylık faiz kapitalizasyonuyla yıllık %60 oranında “talep üzerine” halktan mevduat kabul etmektedir. Enflasyonu, tahakkuk eden tutarı ve müşterinin 3 bin ruble mevduattan elde ettiği karlılığı dikkate alarak bankanın gerçek faiz oranını belirleyin. 1 yıl sonra ortalama enflasyon %3,5 ise.

Yıllık enflasyon oranı:

veya yıllık %51,11

Gerçek faiz oranı:

burada i nominal faiz oranıdır;

Gerçek faiz oranı;

Enflasyon oranı;

m, faiz tahakkuklarının sayısıdır.

%60 nominal faiz oranı için gerçek faiz oranı:

Aylık faiz kapitalizasyonuyla artan mevduat tutarı aşağıdaki formülle belirlenir:

burada S n dönem sonundaki mevduat tutarıdır;

S 0 - ilk depozito tutarı;

n - faiz tahakkuk süresi;

Gerçek faiz oranı.

Yatırımcının dönem sonunda elde edeceği gelir:

burada I n, yatırımcının n dönemi için geliridir;

n - mevduat vadesi (yıl olarak).

26. Yıllık %15'lik bir karşılaştırma oranı için aşağıdaki nakit akışına sahip bir yatırım projesinin NBD'sini hesaplayın.

Tablo 3

Çözüm:

Bir yatırım projesinin net bugünkü değeri aşağıdaki formülle belirlenir:

burada CF t, t dönemi için nakit girişi (çıkışı);

r - karşılaştırma oranı;

n -- proje yaşam döngüsü.

Tablo 4, Microsoft Excel'de gerçekleştirilen hesaplamaları göstermektedir.

Tablo 4

		indirim katsayısı	akışın bugünkü değeri

Yatırım projesinin NBD değeri negatifti. Bu, projenin reddedilmesi gerektiği anlamına gelir.

27. Aşağıdaki düzenli nakit akışına sahip bir yatırım projesi için iç getiri oranını (IRR) bulun (-200, -150, 50, 100, 150, 200, 200)

İç getiri oranı IRR, projenin NBD'sinin sıfır olduğu iskonto oranıdır.

Tablo 5, Microsoft Excel'de gerçekleştirilen hesaplamaları göstermektedir.

Tablo 5

	Maliyetler I

İç getiri oranı %19’dur.

28. Yatırım projelerini (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20) ve (-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110) karşılaştırın; yıllık faiz oranı: a) yıllık %10; b) Yıllık %15; c) Yıllık %20.

Sunulan yatırım projeleri tipik bir yatırım akışını karakterize etmektedir; negatif ödemeler pozitif olanlardan önce gelir.

Tablo 6, Microsoft Excel'de gerçekleştirilen hesaplamaları göstermektedir.

Yatırım akışı (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20)

Tablo 6

		indirim katsayısı	akışın bugünkü değeri		indirim katsayısı	akışın bugünkü değeri		indirim katsayısı	akışın bugünkü değeri

Tablo 7, Microsoft Excel'de gerçekleştirilen hesaplamaları göstermektedir.

Yatırım akışı (-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110)

Tablo 7

		indirim katsayısı	akışın bugünkü değeri		indirim katsayısı	akışın bugünkü değeri		indirim katsayısı	akışın bugünkü değeri

%10 oranında en efektif yatırım projesi (-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110)’dır çünkü NPV=66,96 PI=0,34, geri ödeme süresi 2,91

%15 oranında en etkili yatırım projesi (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20) çünkü NPV=22,26, PI=0,17, geri ödeme süresi 5,73

%20 oranında en etkili yatırım projesi (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20) çünkü NPV=2,13, PI=0,02, geri ödeme süresi 57,71.

Kaynakça

• 1. Finansal matematikte problemler: ders kitabı / P.N. Brusov, P.P. Brusov, N.P. Orekhov, S.V. Skorodulina - M .: KNORUS, 2016 - 286 s.
• 2. Katargin N.V. Finansal hesaplama yöntemleri: Ders metinleri / N.V. Katargin - M.: Finans Üniversitesi, “Ekonomik Süreçlerin Sistem Analizi ve Modellenmesi” bölümü, 2016. - 124 s.
• 3. Kuznetsov S.B. Finansal matematik: ders kitabı / S.B. Kuznetsov; RANEPA, Sib. Yönetim Enstitüsü - Novosibirsk: SibAGS Yayınevi - 2014 - 263 s.
• 4. Pechenezhskaya I.A. Finansal matematik: problemlerin toplanması / I.A. Pechenezhskaya - Rostov tarih: Phoenix, 2010 - 188 s.
• 5. Finansal matematik: ders kitabı / P.N. Brusov, P.P. Brusov, N.P. Orekhov, S.V. Skorodulina - M .: KNORUS, 2012 - 224 s.

Borç miktarına faizin eklenmesiyle paranın artması sürecine birikim denir.

Bir kredinin birikmiş tutarı (borç, mevduat vb.), vade sonunda tahakkuk eden faiziyle birlikte orijinal tutarı anlamına gelir.

Tahakkuk eden basit faiz ile borç miktarını değiştirme süreci, üyeleri miktarlar olan aritmetik bir ilerleme şeklinde temsil edilebilir.

R; P+Pi =P(1 +Ben); R(1 + Ben) +Pi =P( 1+ 2Ben) vb. kadar R(1 + hayır).

Bu ilerlemenin ilk terimi eşittir R, fark - Pi, o zaman son terim tahakkuk eden toplamdır

S = P (1 + hayır),

Nerede S– artan para miktarı;

R- başlangıçtaki para miktarı,

Ben- basit faiz oranı;

Pi- bir dönem için tahakkuk eden faiz;

N– faiz dönemi sayısı;

Pni– tahakkuk eden faiz P dönemler .

Bu formül, basit faize veya basit faiz formülüne dayalı bileşik formüldür.

Çarpan (1 + hayır) birikim çarpanı olarak adlandırılır. Artan miktarın orijinal miktardan kaç kat daha büyük olduğunu gösterir.

Birikmiş tutar iki terimle temsil edilebilir: orijinal tutar ve faiz tutarı.

S = P+BEN,

Nerede ben = Pni- faiz miktarı.

Basit faiz genellikle iki durumda kullanılır:

1) süresi bir yılı geçmeyen kısa vadeli sözleşmeler (kısa vadeli kredilerin sağlanması vb.) imzalanırken;

2) borç miktarına faiz eklenmediğinde ancak periyodik olarak ödendiğinde.

Faiz oranı genellikle yıllık olarak belirlenir, dolayısıyla işlem bir yıldan az sürerse, borç verene faizin ne kadarının ödendiğini öğrenmek gerekir. Bu değer için P kesir olarak ifade edilir

Nerede P - mali işlemin bir yılın kesirleri cinsinden süresi;

e- bir yıldaki gün veya ay sayısı (zaman tabanı) (eng. Yıl- yıl);

T- gün veya ay cinsinden işlemin (kredi) süresi (İng. zaman- zaman).

Bu durumda tahakkuk eden tutar aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Faiz hesaplamak için zaman tabanı seçiminde farklılık gösteren çeşitli seçenekler vardır e ve bir finansal işlemin süresini ölçmek için bir yöntem.

Çoğunlukla, geleneksel olarak 360 günden (her biri 30 gün olan 12 ay) oluşan bir yıl, zamanın ölçümü için temel alınır. Bu durumda adi veya ticari faiz hesapladıklarını söylüyorlar. Bunun aksine, yıldaki gerçek gün sayısı baz alındığında tam faiz elde ediliyor: 365 veya yıl artık yıl ise 366.

Bir finansal işlemin gün sayısının belirlenmesi de kesin veya yaklaşık olabilir. İlk durumda, iki tarih arasındaki fiili gün sayısı hesaplanır, ikincisinde ise mali işlemin süresi, işlemin yapıldığı ay ve gün sayısına göre, yaklaşık olarak tüm aylar eşit kabul edilerek ve 30 gün içerecek şekilde belirlenir. Her iki durumda da operasyonun başlangıç ​​ve bitiş tarihi bir gün olarak sayılır.

İki tarih arasındaki tam gün sayısı, bu tarihler arasındaki fark alınarak veya yıl içindeki tarihlerin seri numaralarını gösteren özel bir tablo kullanılarak yapılabilir (Ek 2, 3).

Bir finansal işlemin günlerini hesaplamak için zaman tabanı ve yöntemler için çeşitli seçenekler, pratikte aşağıdaki faiz hesaplama şemalarının kullanılmasına yol açar:

Kredinin tam gün sayısıyla birlikte tam faiz (İngiliz planı 365/365, bir yıl 365 gün olarak sayıldığında, yarım yıl 182 güne eşittir ve ayların uzunluğu kesindir);

Kredinin tam gün sayısıyla birlikte olağan faiz (Fransız şeması 365/360, bir yıl 360 gün ve ayların tam uzunluğunu varsayar);

Yaklaşık kredi gün sayısıyla olağan faiz (Alman planı 360/360, yılda 360 gün ve her ayda 30 gün olduğu kabul edilir).

Kredinin kesin gün sayısı çoğu durumda yaklaşık olandan daha fazla olduğundan, kesin gün sayısıyla ilgili faiz miktarı genellikle yaklaşık sayıdan daha fazladır.

Kesin faiz ve kredi süresinin yaklaşık ölçümü ile hesaplama seçeneği kullanılmamaktadır.

Olağan faize ilişkin kesin ve yaklaşık gün sayısı aşağıdaki bağımlılıklarla ilişkilidir:

Ben 360 = 0,986301 Ben 365 ; Ben 365 = 1,013889 Ben 360 .

Faiz oranları zaman içinde sabit kalmaz; kredi anlaşmaları bazen faiz oranlarının gizlice değişmesini sağlar. Bu durumda tahakkuk eden tutarı hesaplama formülü aşağıdaki şekli alır:

Nerede BT- rakamlı dönemdeki basit faiz oranı T, t = 1,…, k;

hayır- süre T oranda tahakkuk süresi BT,ben = 1,…, k.

Belirlenen süre sonunda alınan mevduat tutarı, tahakkuk eden faiziyle birlikte bu veya başka bir faiz oranı üzerinden yeniden yatırıma dönüştürülebilir. Yeniden yatırım süreci bazen uzlaşma dönemi içinde birkaç kez tekrarlanır N. Kısa vadeli mevduata birden fazla yatırım yapılması ve basit faiz oranının uygulanması durumunda tüm dönem için biriken tutar N formülle bulunur

Nerede P 1 , P 2 , hayır- Birbirini takip eden yeniden yatırım dönemlerinin süresi

Nerede Ben 1 ,Ben 2 , …, BT- yeniden yatırımın yapıldığı oranlar.

Cari hesaplara hizmet verirken, bankalar sürekli bir gelir ve fon harcama zincirinin yanı sıra sürekli değişen bir tutar üzerinden faiz alma ihtiyacıyla karşı karşıyadır. Bankacılık uygulamasında bu durumda kullanılan kural, tüm dönem boyunca tahakkuk eden toplam faiz tutarının, belirli bir süre boyunca sabit kalan tutarların her biri için tahakkuk eden faiz tutarına eşit olmasıdır. Bu, hesabın borç ve alacak kısımları için geçerlidir. Tek fark kredi faizinin düşülmesidir.

Bu tür sabit miktarlara olan faizi hesaplamak için yüzde sayıları kullanılır:

Her sabit miktar için yüzde sayıları toplanır ve slogana bölünür:

Dolayısıyla tahakkuk eden faizin mutlak tutarının tamamı aşağıdaki şekilde hesaplanır:

Kısa vadeli finansal işlemlerin basit faiz oranı biçimindeki getiri oranı, aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Uygulamada, bir finansal işlemin sonuna karşılık gelen belirli bir tahakkuk eden tutar için orijinal tutarı bulmak gerektiğinde, sorunu faiz birikiminin tersi yönde çözmek çoğu zaman gereklidir. . Bu hesaplamaya birikmiş tutarın iskonto edilmesi denir. .

İskonto edilerek bulunan değere, birikmiş tutarın modern değeri veya cari değeri denir.

Çoğu durumda, iskonto yönteminin kullanıldığı finansal sözleşmelerde zaman faktörü dikkate alınır. Mevcut fon miktarı birikmiş miktara eşdeğerdir, yani belirli bir süre sonra ve belirli bir faiz oranında artış sonucunda birikmiş miktara eşit olacaktır. . Bu nedenle iskonto işlemine indirgeme adı da verilmektedir.

Paranın değerini finansal bir işlemin başlangıcına değil, istediğiniz herhangi bir noktaya getirebilirsiniz.

İki tür indirim vardır:

1. Orijinal kredideki artışın tersi problemin çözümü olan matematiksel iskonto. Doğrudan sorun varsa S = P (1 + hayır), sonra tersten

İfade 1/(1 + hayır) iskonto faktörü olarak adlandırılır. Başlangıçtaki para miktarının ne kadarının borcun nihai tutarı içinde olduğunu gösterir.

Tahakkuk eden tutardaki indirim şuna eşittir:

D = S - R,

Nerede D- indirim.

2. Bankacılık (ticari) muhasebesi. Kambiyo senetlerinin muhasebeleştirilmesi de dahil olmak üzere muhasebe işlemi, bankanın, bir kambiyo senedinin veya diğer ödeme yükümlülüğünün vade tarihinden önce, onu (alacaklı olan) sahibinden daha düşük bir fiyatla satın alması gerçeğinden oluşur. vade sonunda ödenmesi gereken tutar, yani . indirimli olarak satın alır (dikkate alır).

Bu durumda fonların modern değeri

P=S(1 - ve),

Nerede D– indirimli faiz oranı.

Çarpan (1 - ve) iskonto faktörü olarak adlandırılır.

Bankanın elinde bulundurduğu indirim veya indirim tutarı eşittir

D=Snd.

Basit yıllık indirim oranı

Yılın 360 gün olması şartıyla çoğu durumda indirimli oranda indirim yapılır.

İşlem süresinin gün veya ay olarak ifade edildiği bankacılık muhasebe süreci özel bir durumdur:

İndirim oranı artırmak için kullanılabilir:

Biriktirme ve iskonto işlemleri birbirine zıttır ancak her iki sorunu da çözmek için kullanılabilirler. Bu durumda uygulanan orana bağlı olarak doğrudan ve ters problemler arasında ayrım yapılabilir (Tablo 2.1).

Tablo 2.1 - Doğrudan ve ters problemler

Birikmiş borç tutarı (kredi, mevduat vb.), dönem sonunda tahakkuk eden faiziyle birlikte başlangıç ​​tutarı olarak anlaşılmaktadır. Tahakkuk eden tutar, başlangıç ​​tutarının, tahakkuk eden tutarın orijinal tutardan kaç kat daha büyük olduğunu gösteren tahakkuk faktörü ile çarpılmasıyla belirlenir:

Kredi anlaşmaları bazen zaman içinde değişen faiz oranları (değişken oranlar) sağlar. Bunlar basit bahislerse, dönem sonunda tahakkuk eden tutar şu ifadeye göre belirlenir:

Örnek. Kredi sözleşmesi, faiz hesaplaması için aşağıdaki prosedürü öngörmektedir: ilk yıl -% 16'lık bir oran, sonraki her altı ayda oran% 1 artar. 2,5 yıl boyunca büyüme faktörünü belirlemek gerekir:

Pratik problemlerde, bazen ikincil problemleri çözmeye ihtiyaç duyulur - diğer tüm koşullar altında artış süresinin veya faiz oranının büyüklüğünün şu veya bu şekilde belirlenmesi.

Birikim süresinin yıl veya gün cinsinden süresi, denklemin çözülmesiyle belirlenebilir:

Örnek. 1 milyon ruble tutarındaki borcun yıllık %25 (K = 365 gün) basit faiz uygulanması şartıyla 1,2 milyon rubleye çıkması için kredinin süresini gün olarak belirleyelim.

Faiz oranı da benzer şekilde belirlenebilir. Faiz oranının hesaplanmasına yönelik bu ihtiyaç, bir borçlanma işleminin karlılığının belirlenmesinde ve faiz oranlarının açıkça belirtilmediği durumlarda sözleşmelerin karlılıklarına göre karşılaştırılması sırasında ortaya çıkar. İlk duruma benzer şekilde şunu elde ederiz:

Örnek. Kredi sözleşmesi, yükümlülüğün 110 milyon ruble tutarında geri ödenmesini öngörüyor. 120 gün içinde. Başlangıçtaki borç miktarı 90 milyon ruble. Borç veren için borçlanma işleminin karlılığını yıllık faiz oranı şeklinde belirlemek gerekir. Aldık

Değişken bileşik faiz oranlarının kullanılması durumunda tahakkuk eden tutar aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır.

Basit ve karmaşık bahisler için artış çarpanı farklı olduğundan aşağıdaki tablo gözlenir.

Uzatma süresinin bir yıldan az olması halinde

Faiz, bir kez değil, yılda birkaç kez (altı ay, çeyrek, ay vb.) tahakkuk ettirilebilir (aktifleştirilebilir).

Bu durum grafiksel olarak Şekil 2'de gösterilmektedir.

vesaire. Sözleşmeler kural olarak yıllık bir oran öngördüğünden, bileşik faiz formülü şöyle görünür:

Örnek. Başlangıç ​​tutarı 1 milyon ruble. Yıllık %20 bileşik faiz oranıyla 5 yıl vadeli mevduata yatırılıyor. Faiz üç ayda bir hesaplanır. Tahakkuk eden tutarı hesaplayalım:

Açıkçası, faiz ne kadar sık ​​tahakkuk ettirilirse, tahakkuk süreci de o kadar hızlı ilerler.

Bileşik faiz kullanarak kredi işlemlerinin şartlarını geliştirirken, genellikle ters problemleri çözmek gerekir - bir kredinin veya kredinin süresinin (tahakkuk süresi) veya faiz oranının hesaplanması.

Karmaşık bir yıllık oranda ve nominal bir oranda artarken, şunu elde ederiz:

Örnek. Yılda bir ve üç ayda bir %15 bileşik faiz tahakkuk ettirilen 75 milyon ruble tutarındaki tutarın hangi dönemde (yıl olarak) 200 milyona ulaşacağını belirleyelim:

Bileşik faiz tahakkuk ederken faiz oranı denklemlerle belirlenecektir.

Örnek. Fatura 100 bin rubleye satın alındı, geri ödeme tutarı 300 bin ruble, vade 2,5 yıl. Kârlılık düzeyini belirleyin. Aldık

Örnek. Başlangıç ​​sermayesini 5 katına çıkarmak için gereken yıl sayısını yıllık %15 basit ve bileşik faiz kullanarak hesaplayalım: Basit faiz için şunu elde ederiz:

Konu 4.3 hakkında daha fazla bilgi. Tahakkuk eden tutar:

1. Bölüm 1 "Vergi mükellefine göre bütçeye ödenmesi gereken vergi tutarı (ön vergi ödemesi tutarı)"