Как найти наращенную сумму формула. Определение наращенной суммы по простым и сложным процентам с использование различных схем начисления процентов. Определяем сумму начисленных процентов

Расчеты с использованием сложного процента предполагают, что начисленные на первоначальную сумму проценты к этой сумме присоединяются, а начисление процентов в последующих периодах производится на уже наращенную сумму. Сумма, полученная в результате накопления процента, называется наращенной, или будущей стоимостью суммы вклада по истечении периода, за который осуществляется расчет. Первоначальная сумма вклада называется также текущей стоимостью.

Механизм наращения первоначальной суммы (капитала) по сложным процентам еще называют капитализацией.

Расчет наращенной суммы по сложным процентам осуществляется с помощью формулы:

FV = PV * (1 +i ) , (1.1)

- FV – наращенная (будущая) сумма;

- PV - первоначальная (текущая) сумма, на которую начисляется процент;

- i - ставка сложных процентов в виде десятичной дроби:

- п - число лет, в течение которых начисляются проценты.

Пример №1. Клиент банка внес на срочный депозит 30 тыс. рублей под 10% годовых. Начисление процентов осуществляется один раз в году. Определить величину наращенной суммы через четыре года.

FV = PV * (1 +i ) = 30000 * (1 + 0, 1) = 30000*1, 4641 = 43923 р.

В соответствии с договоренностью клиента и банка начисление процентов может осуществляться гораздо чаще, чем один раз в год, - по полугодиям, кварталам, помесячно, подекадно и даже ежедневно. В этих случаях для определения наращенной суммы можно использовать формулу наращения (1.1), где величина п будет означать общее число периодов начисления процентов, а ставка i - процентную ставку но уже за соответствующий период (полугодие, квартал, месяц и т. д).

В большинстве случаев указывается не квартальная или месячная ставка, а годовая, называемая также номинальной. Кроме того, указывается число периодов (m) начисления в году. В этом случае для расчета наращенной суммы может использоваться формула:

n * m

FV = PV * (1 + j / m ) , (1.2)

- J – номинальная процентная ставка;

- m – число периодов начисления процентов в году;

- n - число лет.

Пример №2. Клиент банка внес на срочный депозит 30 тыс. рублей на три года при номинальной ставке 10% годовых. Начисление процентов осуществляется ежеквартально. Определить величину наращенной суммы.

n * m 3 * 4

FV = PV * (1 + j / m ) = 30000 * (1 + 0, 1 / 4) = 30000 * 1, 3449 = 40347 р.

При решении такого рода задач может возникнуть вопрос: какую годовую ставку процентов необходимо установить, чтобы получить такой же финансовый результат, как и в случае при m- разовом (ежемесячном или ежеквартальном) начислении процентов в году по ставке j / m.

В связи с этим кроме номинальной ставки существует понятие эффективной, или действительной, процентной ставки iэ , которая определяется по формуле:

iэ = (1 + j / m ) - 1 , (1.3)

iэ - эффективная ставка сложных процентов.

Пример №3. Клиент обратился в банк по поводу размещения собственных свободных ресурсов, после чего ему стало известно, что банк при использовании номинальной ставки 10% осуществляет ежеквартальное начисление процентов. Какова эффективная ставка сложных процентов при условии получении такой же наращенной суммы, как и при использовании номинальной ставки j = 10%?

iэ = (1 + j / m ) - 1 = (1 + 0,1 / 4) - 1 = 1.1038 – 1 = 0,1038 (10,38%)

Процесс капитализации инвестированных средств - мощное средство сохранения и увеличения реальной стоимости факторов производства. Для иллюстрации данного утверждения можно воспользоваться мнемоническим правилом величины 70 (в некоторых изданиях финансово-экономической направленности отмечается как «Правило 72 – х»), которое позволяет приблизительно определить период удвоения (только удвоения) первоначальной суммы при заданных процентных ставках.

n = 70 / i , (1.4)

- i - ставка сложных процентов (в %)

- n – период (для процентной ставки при заданных условиях).

Примечание . Правило величины 70 рекомендуется применять при ставках в диапазоне 3 – 17%%. Правило величины 70 может использоваться также для оценки инфляции.

Пример №4. Собственник денежного капитала размещенного в банке желает знать, сколько лет потребуется для удвоения капитала при начисляемой годовой процентной ставке в размере 10%?

n = 70 / i = 70 / 10 = 7 лет.

С помощью правила величины 70 можно решать и обратные задачи. Так при заданном периоде, который соответствует удвоению капитала можно рассчитать требуемый уровень процентной ставки.

Задание №1

А) В целях обеспечения взаимных интересов банк и производственно-коммерческая фирма договорились об установлении неснижаемого остатка на расчетном счете сроком на ____ года (лет) в объеме ____ тыс. рублей. При этом банк обязуется периодически начислять ______ процентов годовых. Определить:

Наращенную сумму;

Эффективную ставку сложных процентов.

Значения величин в таблице 1.1.

Таблица 1.1

Исходные данные

Б) Определить:

Среднегодовой темп прироста цен;

Среднегодовой индекс цен,

если за ____года (лет) цены увеличились в два раза.

Значения величин в таблице 1.2.

Таблица 1.2

Исходные данные

Под наращенной суммой долга (ссуды, депозита и т.д.) понимают первоначальную сумму с начисленными процентами к концу срока. Наращенная сумма определяется умножением первоначальной суммы на множитель наращения, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной:

где У - наращенная сумма, руб.;

Р - первоначальная сумма, руб.; q - множитель наращения.

Простых и сложных процентов будет различен.

Множитель наращения при начислении простых

q = (l + nxi),

а наращенная сумма - по формуле

Р(1 + п х /),

где п - срок наращения, период;

/" - процентная ставка.

Если ставка процентов годовая, а проценты уплачиваются в течение года, то необходимо определить, какая часть годовых процентов уплачивается кредитору за период. Для этого срок наращения рассчитывают по формуле

где? - число дней, по истечении которых начисляются и выплачиваются проценты;

К - количество дней в году.

Пример. Кредит в размере 1 млн руб. выдан 20 января до 5 октября включительно (на 258 дней) под 18% годовых. Проценты простые. В этом случае наращенная сумма составит

В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки - «плавающие» ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется из выражения

Пример. Кредитный договор предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год - ставка 16%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года:

В практических задачах иногда возникает необходимость в решении вторичных задач - определении срока наращения или размера процентной ставки в том или ином ее виде при всех прочих заданных условиях.

Продолжительность срока наращения в годах или днях может быть определена из решения уравнения:

Рх(1 + «хг).

Из этого уравнения получаем

Срок в днях будет рассчитан по формуле

Пример. Определим продолжительность займа в днях, для того чтобы долг, равный 1 млн руб., вырос до 1,2 млн руб., при условии, что начисляются простые проценты по ставке 25% годовых (К = 365 дней).

Аналогично может быть определена величина процентной ставки. Такая необходимость в расчете процентной ставки возникает при определении доходности заемной операции и при сравнении контрактов по их доходности в случаях, когда процентные ставки в явном виде не указаны. Аналогично первому случаю получаем

Пример. В договоре займа предусматривается погашение обязательства в сумме 110 млн руб. через 120 дней. Первоначальная сумма долга - 90 млн руб. Необходимо определить доходность заемной операции для заимодавца в виде годовой ставки процента. Получаем

Множитель наращения при начислении сложных процентов рассчитывается по формуле

Я = 0 + 0",

а наращенная сумма - по формуле Проценты (У) будут равны:

В случае использования «плавающих» ставок сложных процентов наращенная сумма рассчитывается по формуле

где - значение ставки за период щ.

Поскольку множитель наращения при простых и сложных ставках различен, то наблюдается следующая закономерность. Если срок наращения меньше года, то

если срок наращения больше года, то

(1 + т)

Графически такая ситуация показана на рис. 4.1.

Рис.

Проценты могут начисляться (капитализироваться) не один, а несколько раз в году - по полугодиям, кварталам, месяцам и т.д. Поскольку в контрактах, как правило, оговаривается годовая ставка, то формула наращения по сложным процентам имеет вид:

где } - номинальная годовая ставка;

т - число периодов начисления процентов в году.

Пример. Первоначальная сумма в 1 млн руб. помещается на депозит на 5 лет под сложные проценты при годовой ставке 20%. Проценты начисляются поквартально. Рассчитаем наращенную сумму:

Очевидно, чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения.

При разработке условий кредитных операций с использованием сложных процентов часто приходится решать обратные задачи - расчета продолжительности займа или кредита (срока наращения) либо процентной ставки.

При наращении по сложной годовой ставке и по номинальной ставке получаем

Пример. Определим, за какой срок (в годах) сумма, равная 75 млн руб., достигнет 200 млн при начислении процентов по сложной ставке 15% раз в год и поквартально:

Величина процентной ставки при наращении по сложным процентам будет определяться по уравнениям

Пример. Вексель куплен за 100 тыс. руб., выкупная сумма - 300 тыс. руб., срок 2,5 года. Определить уровень доходности. Получаем

Если необходимо определить срок займа, при котором первоначальная сумма увеличивается в N раз, то формула расчета выводится:

для сложных процентов - из выражения (1 + /)" = N :

для простых процентов - из выражения (1 + их*) = ЛГ:

Пример. Определим число лет, необходимых для увеличения первоначального капитала в 5 раз, применяя простые и сложные проценты по ставке 15% годовых: для простых процентов получаем

Контрольное домашнее задание по финансовой математике

1. Определите наращенную сумму вклада в 3 тыс. руб. при сроке вклада 2 года по номинальной процентной ставке 40% годовых. Начисление процентов производится: а) один раз в год, б) по полугодиям, в) поквартально, г) ежемесячно

Наращенная сумма к концу срока вклада определяется по формуле:

где m - количество начислений процентов в году;

n - срок депозита (в годах);

Указанная в депозитном договоре ставка годовых процентов (номинальная ставка).

Принятая в банках ставка процента за интервал начисления.

а) один раз в год:

(тыс.руб.)

б) по полугодиям

(тыс.руб.)
в) поквартально,

(тыс.руб.)
г) ежемесячно.

(тыс.руб.)
2. Банк принимает вклады от населения по номинальной процентной ставке 12% годовых. Начисление процентов ежемесячное. Вклад 1200$ был изъят через 102 дня. Определите доход клиента

Для расчета продолжительности финансовой операции принимаем точное количество дней в году. Продолжительность финансовой операции определяется по формуле:

где t - фактическое количество дней по финансовой операции.

n - срок депозита (в годах).

3. Для строительства завода банк предоставил фирме кредит в 200 тыс.$ сроком на 10 лет из расчета 13% годовых. Проведите расчет коэффициента наращения, суммы начисленных процентов и стоимости кредита на конец каждого года

Простые проценты:

Коэффициент наращения простых процентов определяется по формуле:

где

где S 0 - сумма кредита;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

S 0 - сумма кредита;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

В таблице 1 приведены данные о значении коэффициента наращения, сумме процентов и стоимости кредита на конец каждого года (расчеты проведены в Microsoft Excel - Приложение А, задача 3).

Таблица 1. Расчетные данные коэффициента наращения, суммы процентов и стоимости кредита.

коэффициент наращения	стоимость кредита, $	процент, $

Сложные проценты:

Коэффициент наращения определяется по формуле:

i - номинальная процентная ставка.

Сумма процента рассчитывается по формуле:

где S - сумма кредита;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

Стоимость кредита в конце периода:

где S n - стоимость кредита (наращенная стоимость);

S 0 - сумма кредита;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

В таблице 2 приведены данные о значении коэффициента наращения, сумме процентов и стоимости кредита на конец каждого года (расчеты проведены в Microsoft Excel).

Таблица 2. Расчетные данные коэффициента наращения, суммы процентов и стоимости кредита.

коэффициент наращения	стоимость кредита, $	процент, $

4. Фирме предоставлен льготный кредит в 50 тыс. $ на 3 года под 12% годовых. Проценты на кредит начисляются один раз в год. По условиям договора фирма имеет право оплатить кредит и проценты единым платежом в конце трехлетнего периода. Сколько должна заплатить фирма при расчете по простым и сложным процентам?

Простые проценты:

Сумма простых процентов рассчитывается по формуле:

где S - сумма кредита;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

Сумма кредита составит:

Сумма начисленных сложных процентов рассчитывается по формуле:

где S - сумма кредита,

n - период начисления процентов,

i - номинальная процентная ставка.

Сумма кредита составит:

5. Производственно-коммерческая фирма получила кредит в 900 тыс. руб. сроком на 3 года. Проценты - сложные. Процентная ставка за первый год 40% и каждый последующий год увеличивается на 5%. Определите сумму возврата кредита

Сумма возврата кредита определяется по формуле:

где S n - сумма возврата кредита на конец периода;

S 0 - сумма кредита;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

По условию процентная ставка растет на 5 %:

Сумма возврата кредита на 3-й год составит:

6. Определите период времени, необходимый для удвоения капитала по простым и сложным процентам при процентной ставке 12% годовых. В последнем случае начисление процентов ежемесячное

«Правило 70» и «Правило 100» позволяют ответить на вопрос, за сколько лет удвоится капитала при ставки процента i.

Простые проценты («правило 100»):

i - ставка процента.

где Т - период, за который удвоится капитал;

i - ставка процента.

7. Определите период времени, необходимый для утроения капитала по простым и сложным процентам при процентной ставке 48% годовых. В последнем случае начисление процентов квартальное

Простые проценты при утроении капитала:

Сложные проценты при утроении капитала:

8. Сколько времени нужно хранить вклад в банке под 84% годовых при ежемесячном, поквартальном и полугодовом начислении процентов, чтобы сумма вклада удвоилась. Методика расчета банковская

Сложные проценты («правило 70»):

где Т - период, за который удвоится капитал;

m - периодичность начисления процентов;

i - ставка процента.

- ежемесячное начисление: лет.
- поквартальное начисление: лет.

- полугодовое начисление: лет.
9. Клиент внес на депозит сроком на 4 месяца 1600$. Начисление процентов ежемесячное. После окончания срока он получил 1732$. Определите процентную ставку банка

Для определения процентной ставки банка применяется формула наращения денежных средств методом сложных процентов:

j - фактическое число периодов начисления процентов;

n - срок депозита (в годах);

S0 - величина вклада в момент открытия депозита;

Процентная ставка банка.

Отсюда процентная ставка банка рассчитывается по формуле:

Процентная ставка банка составит:

10. Какой должна быть минимальная процентная ставка, чтобы произошло удвоение вклада за год при начислении процентов: а) поквартально, б) ежемесячно

Минимальная процентная ставка определяется по формуле:

где m - количество начислений процентов;

n - срок депозита (в годах);

S0 - величина вклада в момент открытия депозита;

Sm - величина вклада в момент открытия депозита;

Процентная ставка банка.

a) поквартальное начисление процентов:

b) ежемесячное начисление процентов:

11. "Приорбанк" предлагал населению на 1996 г. денежный вклад. Доход по нему составил за первые 2 месяца 72% годовых, за следующие 2 месяца -84, за 5 месяцев - 96, за 6 месяцев - 108% годовых. Определите эффективную процентную ставку при размещении денег на 6 месяцев под указанные простые и сложные проценты. В последнем случае начисление процентов ежемесячное

Эффективная ставка процента - ставка, отражающая реальный доход от коммерческой сделки).

Эффективная процентная ставка, рассчитанная по простым процентам, определяется по формуле:

где m - количество начислений процентов;

n - срок депозита (в годах).

Эффективная процентная ставка, рассчитанная по сложным процентам, определяется по формуле:

где m - количество начислений процентов;

n - срок депозита (в годах).

12. Реклама одного коммерческого банка предлагает 84% годовых при ежемесячном начислении процентов. Другой коммерческий банк предлагает 88% годовых при поквартальном начислении процентов. Срок хранения вклада - 12 месяцев. Какому банку отдать предпочтение?

Выбор между коммерческими банками будет зависеть от коэффициента наращения.

Коэффициент наращения сложных процентов определяется по формуле:

где n - период начисления процентов,

i - номинальная процентная ставка.

Предпочтение Банку 1.

13. Сопоставьте условия четырех банков: а) проценты простые и процентная ставка 48%; b) номинальная процентная ставка - 46% годовых, начисление процентов происходит по полугодиям; c) номинальная процентная ставка - 45%, начисление процентов поквартальное; d) номинальная процентная ставка -44%, начисление процентов ежемесячное

Для определения наиболее выгодного варианта необходимо сопоставить предлагаемые условия (все расчеты проводятся для периода равного 1 год).

a) проценты простые и процентная ставка 48%.

Коэффициент наращения простых процентов: .

b) номинальная процентная ставка - 46% годовых, начисление процентов происходит по полугодиям.

c) номинальная процентная ставка - 45%, начисление процентов поквартальное.

Коэффициент наращения сложных процентов:

d) номинальная процентная ставка -44%, начисление процентов ежемесячное.

Коэффициент наращения сложных процентов:

В таблице 3 сопоставлены условия для вкладчика, заемщика и банка (кредитора).

Таблица 3

14. Клиент разместил вклад в 100 тыс. руб. на срочный депозит сроком 8 месяцев. Начисление процентов ежемесячное, под номинальную процентную ставку 36% годовых. Определите наращенную сумму и эффективную процентную ставку

Наращенная сумма депозита определяется по формуле сложного процента:

S 0 - начальная сумма вклада;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

15. Предприятие получило кредит на 3 года под номинальную процентную ставку 40% годовых. Комиссионные составляют 5% от суммы кредита. Определите эффективную процентную ставку при начислении процентов: а) один раз в год, б) поквартально, в) ежемесячно

Эффективная ставка определяется путем приравнивания будущих стоимостей без учета и с учетом комиссионных:

где m - количество начислений процентов;

n - срок кредита (в годах);

S - величина кредита;

Номинальная процентная ставка банка;

Сумма по уплате комиссии банку.

где h - комиссия банка.

Эффективная ставка рассчитывается по формуле:

- один раз в год: ;
-поквартально: ;

- ежемесячно: .
16. Предприятие получило кредит на 3 года под годовую процентную ставку 48%. Комиссионные составляют 5% от суммы кредита. Определите эффективную процентную ставку кредита, если: а) кредит получен под простые проценты, b) кредит получен под сложные проценты с начисление процентов один раз в год, c) при ежемесячном начислении процентов

a) кредит получен под простые проценты

b) кредит получен под сложные проценты с начисление процентов один раз в год:

c) кредит получен под сложные проценты при ежемесячном начислении процентов:

17. Фирма получила кредит в 40 тыс. руб. на один месяц под годовую процентную ставку 12%. Проценты простые. Месячный уровень инфляции - 5,9%. Определите месячную процентную ставку с учетом инфляции, наращенную сумму и процентные деньги

Процентная ставка банка в месяц составляет:

Процентная ставка банка в месяц с учетом инфляции:

где i р - реальная ставка банка с учетом инфляции;

i - номинальная ставка банка;

n - число лет;

р - уровень инфляции.

Наращенная сумма кредита определяется по формуле простого процента:

депозит кредит банк доход

18. Фирма обратилась в банк за кредитом в 100 тыс. руб. сроком на один месяц. Банк выделяет такие кредиты под простую годовую процентную ставку 24% без учета инфляции. Месячные уровни инфляции за три предыдущие месяца: 1,8%; 2,4; 2,6%. Кредит выделен с учетом среднего уровня инфляции за три указанных месяца. Определите процентную ставку банка с учетом инфляции, сумму возврата, дисконт банка

Уровень инфляции за три месяца:

Средний уровень инфляции в месяц:

Наращенная сумма возврата:

Процентные выплаты составят: руб.

19. Банк выдал клиенту кредит на 3 месяца. Сумма кредита - 24 тыс. руб. Банк требует, чтобы реальная ставка доходности была 12% годовых. Прогнозируемый средний месячный уровень инфляции - 3,6%. Определите простую процентную ставку банка, наращенную сумму

Уровень инфляции за год:

Темп инфляции составит: или 53%.

Процентная ставка кредита с учетом инфляции:

r - реальная ставка доходности;

р - уровень инфляции.

Наращенная сумма возврата:

20. Фирма взяла кредит в коммерческом банке на два месяца под процентную ставку 30% годовых (без учета инфляции). Предполагаемый средний месячный уровень инфляции - 2%. Определите процентную ставку кредита с учетом инфляции и коэффициент наращения

Уровень инфляции за год:

Процентная ставка кредита (формула Фишера):

Коэффициент наращения сложных процентов:

Коэффициент наращения простых процентов:

21. Кредит в 500 тыс. руб., получен сроком на один год под номинальную процентную ставку 18% годовых. Начисление процентов ежемесячное. Ожидаемый среднемесячный уровень инфляции - 3%. Определите процентную ставку банка с учетом инфляции и наращенную сумму

Темп инфляции за год рассчитывается по формуле:

Определим процентную ставку банка с учетом инфляции:

Наращенная сумма:

22. Месячные уровни инфляции ожидаются на уровне 3%. Определите истинную процентную ставку доходности годового вклада, если банки принимают вклады под номинальные процентные ставки 40%, 50%, 60%. Проценты сложные и начисляются ежемесячно.

Уровень инфляции за год:

или 42,58% в год

Истинная процентная ставка:

где i - номинальная процентная ставка;

Истинная процентная ставка;

Уровень инфляции;

Истинная процентная ставка для номинальной ставки процента 40%:

Истинная процентная ставка для номинальной ставки процента 50%:

23. Средний месячный уровень инфляции с января по июнь 1997 г. - 5,9%. Какой должна быть годовая процентная ставка банка по депозитам, чтобы обеспечить реальную доходность вкладов 12% годовых. Проценты сложные и начисляются ежемесячно

Номинальная процентная ставка по депозит определяется по формуле:

где i - номинальная процентная ставка;

r- реальная доходность вклада;

Уровень инфляции.

24. Коммерческий банк принимал вклады от населения в первой половине 1997 г. под процентную ставку 54% годовых. Проценты начисляются ежемесячно. Средний месячный уровень инфляции - 5,9%. Определите реальную процентную ставку доходности

Реальная процентная ставка доходности определяется по формуле:

где i - номинальная процентная ставка;

r - реальная доходность вклада;

Уровень инфляции.

Происходит обесценивание вклада на 14,77%.

25. Коммерческие банки принимают вклады от населения "до востребования" под 60% годовых с ежемесячной капитализацией процентов. Определите истинную процентную ставку банка с учетом инфляции, наращенную сумму и доходность клиента от вклада в 3 тыс. руб. по истечении 1 года, если средний уровень инфляции 3,5%.

Уровень инфляции за год:

или 51,11% в год

Истинная процентная ставка:

где i - номинальная процентная ставка;

Истинная процентная ставка;

Уровень инфляции;

m - количество начислений процентов.

Истинная процентная ставка для номинальной ставки процента 60%:

Наращенная сумма депозита с ежемесячной капитализацией процентов определяется по формуле:

где S n - сумма депозита в конце периода;

S 0 - начальная сумма вклада;

n - период начисления процентов;

Истинная процентная ставка.

Доход вкладчика к концу срока составит:

где I n - доход вкладчика за период n;

n - срок депозита (в годах).

26. Рассчитайте NPV для инвестиционного проекта со следующим денежным потоком для ставки сравнения 15% годовых.

Таблица 3

Решение:

Чистая приведенная стоимость инвестиционного проекта определяется по формуле:

где CF t -- денежный приток (отток) за период t;

r -- ставка сравнения;

n -- жизненный цикл проекта.

В таблице 4 приведены расчеты, выполненные в Microsoft Excel.

Таблица 4

		коэффициент дисконтирования	приведенная стоимость потока

Значение NPV для инвестиционного проекта получили отрицательное. Значит проект следует отвергнуть.

27. Найдите внутреннюю норму доходности (IRR) для инвестиционного проекта со следующим регулярным денежным потоком (-200, -150, 50, 100, 150, 200, 200)

Внутренняя норма доходности IRR -- это ставка дисконтирования, при которой NPV проекта равен нулю.

В таблице 5 приведены расчеты, выполненные в Microsoft Excel.

Таблица 5

	Затраты I

Внутренняя норма доходности составляет 19%.

28. Сравните инвестиционные проекты (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20) и (-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110), если годовая ставка процентов составляет: а) 10 % годовых; б) 15 % годовых; в) 20 % годовых.

Представленные инвестиционные проекты характеризуют собой типичный инвестиционный поток, в отрицательные платежи предшествуют положительным.

В таблице 6 приведены расчеты, выполненные в Microsoft Excel.

Инвестиционные поток (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20)

Таблица 6

коэффициент дисконтирования	приведенная стоимость потока	коэффициент дисконтирования	приведенная стоимость потока	коэффициент дисконтирования	приведенная стоимость потока

В таблице 7 приведены расчеты, выполненные в Microsoft Excel.

Инвестиционные поток (-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110)

Таблица 7

коэффициент дисконтирования	приведенная стоимость потока	коэффициент дисконтирования	приведенная стоимость потока	коэффициент дисконтирования	приведенная стоимость потока

При ставке 10% наиболее эффективным является инвестиционный проект (-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110), т.к. NPV=66,96 PI=0,34, период окупаемости составляет 2,91

При ставке 15% наиболее эффективным является инвестиционный проект (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20), т.к. NPV=22,26, PI=0,17, период окупаемости составляет 5,73

При ставке 20% наиболее эффективным является инвестиционный проект (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20), т.к. NPV=2,13, PI=0,02, период окупаемости 57,71.

Список литературы

1. Задачи по финансовой математике: учебное пособие /П.Н. Брусов, П.П. Брусов, Н.П. Орехов, С.В. Скородулина - М.: КНОРУС, 2016 - 286 с.
2. Катаргин Н.В. Методы финансовых расчётов: Тексты лекций / Н.В. Катаргин - М.: Финансовый университет, кафедра «Системный анализ и Моделирование экономических процессов», 2016. - 124 с.
3. Кузнецов С.Б. Финансовая математика: учебное пособие / С.Б. Кузнецов; РАНХиГС, Сиб. ин-т управления - Новосибирск: Изд-во СибАГС - 2014 - 263с.
4. Печенежская И.А. Финансовая математика: сборник задач / И.А. Печенежская - Ростов н/Д: Феникс, 2010 - 188 с.
5. Финансовая математика: учебное пособие /П.Н. Брусов, П.П. Брусов, Н.П. Орехов, С.В. Скородулина - М.: КНОРУС, 2012 - 224 с.

Процесс увеличения денег в связи с присоединением процентов к сумме долга называют наращением.

Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита и т.д.) понимается ее первоначальная сумма вместе с начисленными на нее процентами к концу срока.

Процесс изменения суммы долга с начисленными простыми процентами можно представить в виде арифметической прогрессии, членами которой являются величины

Р ; P + Pi = P (1 + i ); Р (1 + i ) + Pi = P(1+ 2i ) и т. д. до Р (1 + ni ).

Первый член этой прогрессии равен Р , разность - Pi, тогда последний член является наращенной суммой

S = P (1 + ni ),

где S – наращенная сумма денег;

Р - первоначальная сумма денег,

i - ставка простых процентов;

Pi - начисленные проценты за один период;

n – число периодов начисления процентов;

Pni – начисленные проценты за п периодов.

Данная формула является формулой наращения по простым процентам, или формулой простых процентов.

Множитель (1 + ni ) называется множителем наращения.Он показывает во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы.

Наращенную сумму можно представить в виде двух слагаемых: первоначальной суммы и суммы процентов

S = P + I ,

где I = Pni – сумма процентов.

Начисление простых процентов обычно используется в двух случаях:

1) при заключении краткосрочных контрактов (предоставлении краткосрочных кредитов и т.п.), срок которых не превышает одного года;

2) когда проценты не присоединяются к сумме долга, а выплачиваются периодически.

Ставка процентов обычно устанавливается в расчете на год, поэтому при продолжительности операции менее года необходимо выяснить, какая часть процентов уплачивается кредитору. Для этого величину п выражают в виде дроби

где п - срок финансовой операции в долях года;

Y - число дней или месяцев в году (временная база) (англ. Year – год);

t - срок операции (ссуды) в днях или месяцах (англ. time – время).

В этом случае наращенная сумма вычисляется по формуле:

Возможно несколько вариантов расчета процентов, различающихся выбором временной базы Y и способом измерения срока финансовой операции.

Часто за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней в каждом). В этом случае говорят, что вычисляют обыкновенный, или коммерческий процент.В отличие от него точный процентполучают, когда за базу берут действительное число дней в году: 365 или 366, если год високосный.

Определение числа дней финансовой операции также может быть точным или приближенным. В первом случае вычисляют фактическое число дней между двумя датами, во втором - продолжительность финансовой операции определяется числом месяцев и дней операции, приближенно считая все месяцы равными и содержащими по 30 дней. В обоих случаях дата начала и дата окончания операции считается за один день.

Подсчет точного числа дней между двумя датами можно осуществить, взяв разность этих дат, или с помощью специальной таблицы, в которой представлены порядковые номера дат в году (прил. 2, 3).

Различные варианты временной базы и методов подсчета дней финансовой операции приводят к следующим схемам расчета процентов, применяемых на практике:

Точные проценты с точным числом дней ссуды (британская схема 365/365, когда в году считается 365 дней, полугодие приравнивается к 182 дням и длительность месяцев точная);

Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (французская схема 365/360, в году принимается 360 дней и точная длительность месяцев);

Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германская схема 360/360, считается, что в году 360 дней и 30 дней в каждом месяце).

Поскольку точное число дней ссуды в большинстве случаев больше приближенного, то величина процентов с точным числом дней обычно больше, чем с приближенным.

Вариант расчета с точными процентами и приближенным измерением времени ссуды не применяется.

Точное и приближенное число дней для обыкновенных процентов связаны следующими зависимостями:

i 360 = 0,986301 · i 365 ; i 365 = 1,013889 · i 360 .

Процентные ставки не остаются неизменными во времени, в кредитных соглашениях иногда предусматриваются дискретно изменяющиеся процентные ставки. В этом случае формула расчета наращенной суммы принимает следующий вид:

где i t - ставка простых процентов в периоде с номером t , t = 1,…, k ;

п t - продолжительность t периода начисления по ставке i t , i = 1,…, k.

Сумма депозита, полученная в конце обозначенного периода вместе с начисленными на нее процентами, может быть вновь инвестирована под эту или другую процентную ставку. Процесс реинвестирования иногда повторяется неоднократно в пределах расчетного срока N. В случае многократного инвестирования в краткосрочные депозиты и применения простой процентной ставки наращенная сумма для всего срока N находится по формуле

где п 1 , п 2 , п t - продолжительности последовательных периодов реинвестирования

где i 1 , i 2 , …, i t - ставки, по которым производится реинвестирование.

При обслуживании текущих счетов банки сталкиваются с непрерывной цепью поступлений и расходований средств, а также с необходимостью начисления процентов на постоянно меняющуюся сумму. В банковской практике в этой ситуации используется правило – общая начисленная за весь срок сумма процентов равна сумме процентов, начисленных на каждую из постоянных на некотором отрезке времени сумм. Это касается дебетовой и кредитовой части счета. Разница состоит только в том, что кредитовые проценты вычитаются.

Для начисления процентов на такие постоянные суммы используют процентные числа:

Процентные числа по каждой постоянной сумме складываются и делятся на девизор:

Следовательно, вся абсолютная сумма начисленных процентов рассчитывается следующим образом:

Вычисление ставки доходности краткосрочных финансовых операций в виде ставки простых процентов осуществляется по формуле:

На практике часто необходимо решать задачу, обратную наращению процентов, когда по заданной наращенной сумме, соответствующей окончанию финансовой операции, требуется найти исходную сумму. Такой расчет называют дисконтированиемнаращенной суммы.

Величина, найденная путем дисконтирования, называется современной величиной, или текущей стоимостью, наращенной суммы.

В большинстве случаев фактор времени учитывается в финансовых контрактах именно с помощью дисконтирования. Современная величина денежных средств эквивалентна наращенной суммев том смысле, что через определенный период времени и при заданной ставке процентов она в результате наращения станет равной наращенной сумме. Поэтому операцию дисконтирования называют также приведением.

Привести стоимость денег можно к любому нужному моменту времени, не обязательно к началу финансовой операции.

Существует два вида дисконтирования:

1. Математическое дисконтирование, которое представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды. Если в прямой задаче S = P (1 + ni ), то в обратной

Выражение 1/(1 + ni ) называют дисконтным множителем.Он показывает, какую долю составляет первоначальная сумма денег в окончательной величине долга.

Дисконт наращенной суммыравен

D = S - Р ,

где D – дисконт.

2. Банковский (коммерческий) учет. Операция учета, в том числе учета векселей, заключается в том, что банк до наступления срока платежа по векселю или другому платежному обязательству покупает его у владельца (являющегося кредитором) по цене ниже той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, т.е. приобретает (учитывает) его с дисконтом.

В этом случае современная величина денежных средств находится

P =S (1 - nd ),

где d – учетная процентная ставка.

Множитель (1 - nd ) называется дисконтным множителем.

Размер дисконта или учета, удерживаемого банком, равен

D = Snd .

Простая годовая учетная ставка находится

Дисконтирование по учетной ставке проводится в большинстве случаев при условии, что год равен 360 дням.

Частным случаем является процесс банковского учета, когда срок операции выражен в днях или месяцах:

Учетная ставка может использоваться для наращения:

Операции наращения и дисконтирования противоположны, но они могут использоваться для решения обеих задач. В этом случае в зависимости от применяемой ставки можно различать прямую и обратную задачи (таблица 2.1).

Таблица 2.1 - Прямая и обратная задачи

Под наращенной суммой долга (ссуды, депозита и т.д.) понимают первоначальную сумму с начисленными процентами к концу срока. Наращенная сумма определяется умножением первоначальной суммы на множитель наращения, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной:

Пример. Кредитный договор предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год - ставка 16%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года:

Продолжительность срока наращения в годах или днях может быть определена из решения уравнения:

Пример. Определим продолжительность займа в днях, для того чтобы долг, равный 1 млн руб., вырос до 1,2 млн руб., при условии, что начисляются простые проценты по ставке 25% годовых (К = 365 дней).

Пример. В договоре займа предусматривается погашение обя-зательства в сумме 110 млн руб. через 120 дней. Первоначальная сумма долга - 90 млн руб. Необходимо определить доходность заемной операции для заимодавца в виде годовой ставки процента. Получаем

В случае использования «плавающих» ставок сложных процентов наращенная сумма рассчитывается по формуле

Поскольку множитель наращения при простых и сложных ставках различен, то наблюдается следующая закономерность.

Если срок наращения меньше года, то

Проценты могут начисляться (капитализироваться) не один, а несколько раз в году - по полугодиям, кварталам, месяцам и

Графически такая ситуация показана на рис.

т.д. Поскольку в контрактах, как правило, оговаривается годовая ставка, то формула наращения по сложным процентам имеет вид:

Пример. Первоначальная сумма в 1 млн руб. помещается на депозит на 5 лет под сложные проценты при годовой ставке 20%. Проценты начисляются поквартально. Рассчитаем наращенную сумму:

Очевидно, чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения.

При наращении по сложной годовой ставке и по номинальной ставке получаем

Пример. Определим, за какой срок (в годах) сумма, равная 75 млн руб., достигнет 200 млн при начислении процентов по сложной ставке 15% раз в год и поквартально:

Величина процентной ставки при наращении по сложным процентам будет определяться по уравнениям

Пример. Вексель куплен за 100 тыс. руб., выкупная сумма - 300 тыс. руб., срок 2,5 года. Определить уровень доходности. Получаем

Пример. Определим число лет, необходимых для увеличения первоначального капитала в 5 раз, применяя простые и сложные проценты по ставке 15% годовых: для простых процентов получаем

Еще по теме 4.3. Наращенная сумма:

Раздел 1 "Сумма налога (сумма авансового платежа по налогу), подлежащая уплате в бюджет по данным налогоплательщика"

Еще по теме 4.3. Наращенная сумма:

Похожие статьи

Читайте также